Признаки делимости натуральных чисел.

1) Делимость чисел по последним числам

2) Другие признаки делимости

3) Составные признаки делимости

Признак делимости на 2 • Число делится без остатка на 2, если его запись оканчивается четной цифрой. • Например, • делится без 25986 остатка на 2, потому что число оканчивается четной цифрой.

Признак делимости на 4 • Число делится без остатка на 4, если две последние его цифры, образуют число, делящееся на 4. • Например, 259896 • делится без остатка на 4, потому что число 96 делится без остатка на 4. Доказательство.

Признак делимости на 5 • Число делится без остатка на 5, если его запись оканчивается цифрой 5 или цифрой 0. • Например, 25980 • и делится без остатка на 5. 25985 Доказательство

Признак делимости на 8 • Число делится без остатка на 8, если три последние его цифры, образуют число, делящееся на 8. • Например, 2598896 • делится без остатка на 8, потому что число 896 делится без остатка на 8. Доказательство

Признак делимости на 10 • Число делится без остатка на 10, если его запись оканчивается цифрой 0. • Например, 25980 • делится без остатка на 10. Доказательство

Признак делимости на 25 • Число делится без остатка на 25, если две последние его цифры, образуют число, делящееся на 25. • Например, 259875 • делится без остатка на 25, потому что число 75 делится без остатка на 25. Доказательство

Признак делимости на 3 • Число делится без остатка на 3, если сумма цифр этого числа делится без остатка на 3. • Например, • делится без остатка 2 51 64 0 на 3, потому что сумма цифр этого числа, равная 18, делится без остатка на три. Доказательство

Признак делимости на 7 •Число делится без остатка на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится без остатка на 7. •Например, 364 • делится без остатка на 7, потому что при вычитании удвоенной последней цифры, т.е. восьми, из числа, составленного из цифр исходного числа без последней цифры, т.е. числа 36, равно 28. 28 делится на 7 без остатка. Доказательство

Признак делимости на 9 • Число делится без остатка на 9, если сумма цифр этого числа делится без остатка на 9. • Например, • делится без остатка 2 51 64 0 на 9, потому что сумма цифр этого числа, равная 18, делится без остатка на 9. Доказательство

Признак делимости на 11 • Число делится без остатка на 11, если сумма цифр этого числа с чередующимися знаками делится без остатка на 11 (сумма может получится числом отрицательным). • Например, 2 6 3 • делится без остатка на 11, потому что сумма цифр этого числа с чередующимися знаками равна 11. Одиннадцать кратно одиннадцати. 41 7 Доказательство

Признак делимости на 13 • Число делится без остатка на 13, если число десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно 13. • Например, 8 54 • делится без остатка на 13,  потому что число десятков (45), сложенное с учетверенным числом единиц (4 х 5), делится на 13. Доказательство

Признак делимости на 17 • Число делится без остатка на 17, если число десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц делится на 12. • Например, • делится без остатка на 17,  1 потому что число десятков (147), сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц (12 х 9), делится на 17. 974 Доказательство

Признак делимости на 19 • Число делится без остатка на 19, если число десятков, сложенное с увеличенным в 2 раза числом единиц делится на 19. • Например, • делится без остатка на 19,  6 64 потому что число десятков (64), сложенное с удвоенным числом единиц (6 х 2), делится на 19. Доказательство

Признак делимости на 23 • Число делится без остатка на 23, если число его сотен, сложенное с утроенным числом его единиц делится на 23. • Например, 4 41 • делится без остатка на 23, потому что число сотен (4), сложенное с утроенным числом единиц (14 х 3), делится на 23.

Составные признаки делимости • Число делится без остатка на 15, если оно делится одновременно на • Число делится без остатка на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. • Число делится без остатка на 12, если оно делится одновременно на 3 и на 4. • Число делится без остатка на 14, если оно делится одновременно на 2 и на 7.

• Число делится без остатка на 16, если оно делится одновременно на 2 и на 8. • Число делится без остатка на 18, если оно делится одновременно на 2 и на 9. • Число делится без остатка на 20, если оно делится одновременно на 4 и на 5. • Число делится без остатка на 21, если оно делится одновременно на 3 и на 7. • Число делится без остатка на 22, если оно делится одновременно на 2 и на 11. • Число делится без остатка на 24, если оно делится одновременно на 3 и на 8.